Eisenstein Zahlen

Eisenstein Zahlen
Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene

??? Alles klar ? ? ? :mrgreen:

Die Eisenstein-Zahlen sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. Sie sind nach dem deutschen Mathematiker Gotthold Eisenstein, einem Schüler von Gauß benannt. Die Gaußschen Zahlen sind eine andere Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. Die Eisenstein-Zahlen sind der Ganzheitsring des quadratischen Zahlkörpers . Sie treten beispielsweise bei der Formulierung des kubischen Reziprozitätsgesetzes auf.

Definition
Eine komplexe Zahl E ist eine Eisenstein-Zahl, wenn sie sich in der Form
Eisenstein Zahlen
und ganzen Zahlen a und b darstellen lässt. ω ist eine (primitive) dritte Einheitswurzel und erfüllt somit die Gleichung

ω2 + ω + 1 = 0.

Eigenschaften und Bedeutung
Die Eisenstein-Zahlen bilden ein Dreiecksgitter in der gaußschen Zahlenebene. Sie entsprechen den Mittelpunkten einer dichtesten Kugelpackung in zwei Dimensionen.

Auf den Eisenstein-Zahlen lässt sich Zahlentheorie betreiben. Man kann Primelemente definieren (analog zu den Primzahlen in ) definieren und zeigen, dass die Primfaktordarstellung einer Eisenstein-Zahl eindeutig ist. Ganze Zahlen der Form m2 + 3n2 sind in den Eisenstein-Zahlen immer zerlegbar. Daher sind die Zahlen 3, 7, 13, 19… keine Primelemente in den Eisenstein-Zahlen.

  • Quelle: Wikipedia
  • 6 Gedanken zu „Eisenstein Zahlen

    1. Quizzy

      Normalerweise bin ich ja ein Zahlen-Junkie, aber das übersteigt jetzt auch meinen Horizont … na ja, am liebsten würd ich mich jetzt eh wieder in die Horizontale begeben … 😉
      Ein frohes Schaffen wünscht dir
      Renate

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    2. katinka

      Boah, der Süssadmin würde das sofort verstehn, er würde dann noch ganz frech sagen: Ist doch ganz einfach!
      … bleib mir fort damit … 😀
      Ich mach da mal schnell den Gaußschen Weichzeichner drüber, das ist doch eher was für uns, gell?

      Einen wunderschönen Montag
      ganz liebe Grüße
      katinka 🙂

      Aber wenn man sich genauer damit beschäftigt, interessant ist es ja schon *tüftel*

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    3. Ocean

      hiiilfe *wegrenn* :)))

      (bin Mathe-Sechser-Kandidat *g*)

      … und das hier übersteigt ganz eindeutig mein Verständnis. Ich krieg ja schon Probleme, wenn ich schnell mal nen Dreisatz lösen soll.

      Zum Glück ist das Geschichte … *gg*

      Einen wunderschönen Wochenstart wünsch ich dir, und schicke liebe Grüsse zu dir ins vermutlich tief verschneite GAP 🙂
      Ocean

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    4. Eva

      da addiere ich lieber 4+4 hoffe das klappt, das ist mir eine Schublade zu hoch …. liebe Grüßerl aus dem inzwischen wieder schneelosen Fürth in den schönen Süden :))

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    5. Elke

      Du glaubst doch nicht wirklich, dass ich ein Wort davon verstanden habe??? Aber 10 plus 1, das geht grad noch.
      Lieben Gruß
      Elke

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